إختبار ويلكوكسن Wilcoxon

 

إختبار ويلكوكسن لعينتين غير مستقلتين

Wilcoxon Matched-Pairs Signed-Ranks Test  

يعد إختبار ويلكوكسن لعينتين غير مستقلتين بديلا لنظيره من الإختبارات المعلمية، إختبار  t لعينتين غير مستقلتين (t Matched-Pairs Test)  ، في حال عدم تحقق الإفتراضات اللازمة لإجراء اختبار t لعينتين غير مستقلتين (t Matched-Pairs Test) كما يعتبر اختبار ويلكوكسن لعينتين غير مستقلتين امتدادا لاختبار ولكوكسن(Wilcoxon Signed-Ranks Test)  الذي يستخدم كاختبار للوسيط لعينة واحدة.. ولتطبيق اختبار ويلكوكسن فإن البيانات التي يتم تحليلها تتكون من n قيمة للفروق بين Y_i و X_i وكل زوج من القياسات (X_i,Y_i) مأخوذ من المفردة ذاتها أو لمجموعة مفردات تمت مزاوجتها وفقا لمتغير واحد أو أكثر كما يفترض ان تمثل الفروق مشاهدات لمتغير عشوائي مستمر ، وتخضع المفاضلة بين إختبار ويلكوكسن و إختبار t لتقدير الباحث.

الإفتراضات (Assumptions) المرتبطة بالإختبار :

o      توزيع الفروق متماثل حول وسيطها θ_D.

o      الفروق مستقلة عن بعضها البعض.

o      الفروق تم قياسها بمستوى قياس فتري على الأقل.

الفرض(Hypothesis)  الذي يتم إختباره :

هل العينتين غير المستقلتين تمثلان مجتمعين مختلفين؟

 وعليه تتم صياغة فرض العدم (Null Hypothesis) و الفرض البديل (Alternative ) كالتالي :

§       فرض العدم :

Н₀  : θ_D  =  0    

(وسيط الفروق يساوي صفر)

ونظرا لأن الاختبار قائم على رتب الفروق لذا فإنه عند أخذ بيانات العينة في الاعتبار  يمكن التعبير عن الفرضية بالشكل التالي :

(مجموع رتب الفروق ذات الإشارة الموجبة يساوي مجموع رتب الفروق ذات الإشارة السالبة)

                                   (  )

§       الفرض البديل :

Н_a  : θ_D  #   0  …………………. (1)

(وسيط الفروق لا يساوي صفر)

 

Н_a  : θ_D  >   0  …………………. (2)

(وسيط الفروق أكبر من الصفر)

 

Н_a  : θ_D  <   0  …………………. (3)

(وسيط الفروق أصغر من الصفر)

ويتم إجراء الإختبار أخذا في الإعتبار حالة واحدة فقط من الحالات الممكنة للفرض البديل كما أن فرض العدم يكون مكافئا لـ θ_D  ≤  0   في الحالة (2) و θ_D  ≥  0 في الحالة (3).

إحصائية الإختبار (Test Statistic) :

حساب إحصائية الإختبار :

يتم حساب إحصائية الإختبار وفقا للخطوات التالية :

1.     إحسب الفرق بين كل زوج من المشاهدات وعددها n.

2.     حدد إشارة كل فرق من الفروق التي حصلت عليها.

3.     في حالة وجود فروق تساوي الصفر :

3.1. إستبعد جميع الفروق التي تساوي صفر من التحليل.

3.2. حدد حجم العينة الجديد ليكون مساويا لحجم العينة الأصلي مطروحا منه عدد المشاهدات المستبعدة ذات الفروق المساوية للصفر.

4.     رتب القيم المطلقة للفروق.

5.     إستبدل الرتب المتساوية لمجموعة من المشاهدات بمتوسط الرتب لتلك المجموعة.

6.     إحسب مجموع رتب الفروق الموجبة .

7.     إحسب مجموع رتب الفروق السالبة .

8.     حدد إحصائية الإختبار T لتكون القيمة الصغرى من القيمتين  و  ،

 

T = min(,)

 

وللتأكد من صحة الحسابات يمكن استخدام القاعدة التالية:

   

التوزيع الذي تتبعه إحصائية الإختبار (The Null Distripution for T) :

على افتراض صحة فرض العدم فإن إحصائية الاختبار T تتبع توزيعا خاصا ويمكن الحصول على القيم الحرجة لـ T من جداول خاصة معدة لذلك الغرض.

 

قاعدة إتخاذ القرار حيال فرضية العدم  (Decision Rule) :

·       في حالة الفرض البديل (1) :

يتم رفض فرض العدم إذا كانت :          

T _{المحسوبة}  ≤  T _{الجدولية(Two-Tailed, α)} 

·       في حالة الفرض البديل (2) :

لرفض فرض العدم  :          

T _{المحسوبة}  ≤  T _{الجدولية(One-tailed,  α )} و (>)يجب أن تكون البيانات متسقة مع الفرضية

·       في حالة الفرض البديل (3) :

لرفض فرض العدم  :          

T _{المحسوبة}  ≤  T _{الجدولية(One-Tailed,  α )} و (<)يجب أن تكون البيانات متسقة مع الفرضية

التوزيع الطبيعي المعياري كتوزيع تقريبي لـتوزيع T   :

يمكن استخدام التوزيع الطبيعي المعياري  z  كتوزيع تقريبي لإحصائية الاختبار T إذا كان حجم العينة كبير نسبيا و يتم حساب إحصائية z  وفقا للصيغة التالية : . وعلى الرغم من عدم وجود رقم محدد يمكن من خلاله القول بأن حجم العينة كبير بدرحة كافية تسمح باستخدام توزيع  z  كتوزيع تقريبي لـ T إلا أنه يتحتم علينا استخدام توزيع z  إذا كانت حجم العينة  أكبر من القيم  الموثقة في جداول توزيع  T. ونظرا لتقريب توزيع منفصل بتوزيع متصل يتم عادة استخدام معامل التصحيح للاتصال (الاستمرارية) الخاص بالتوزيع الطبيعي المعياري  . وبما ان إمكانية تساوي الرتب قائمة فإنه ينصح باستخدام معامل تصحيح تساوي الرتب  وذلك في حالة وجود عدد كبير من الرتب المتساوية و من ثم فإن : ،وبعد الحصول على إحصائية z ،تستكمل إجراءات اختبار الفرضية المطلوبة وفقا للأسس التي تمت مناقشتها في جلسات سابقة.